1. Гилетическое число
Одной из важнейших заслуг А.Ф. Лосева в философии числа является различение так называемого эйдетического и арифметического чисел. В работе "Философия имени" он так раскрыл сущность этого различения: "Схема - идеальный контур вещи, эйдетическое число; логос схемы есть обыкновенное математическое, точнее, арифметическое число; логос логоса схемы есть математика, т.е. прежде всего арифметика (не геометрия). <...> Число как смысловое изваяние и фигура как идеальное тело - предмет аритмологии; число как функция и методологическое задание, как принцип и замысел, чистая смысловая возможность эйдетического тела, - есть предмет математики как науки о числе, элементарной и высшей1 . Важно отметить, что и эйдетическое, и арифметическое числа представляют собой завершенные количества.
Но, кроме эйдетических и арифметических чисел, в лосевской философии математики фигурируют еще одни числа, принципиально отличающиеся от предыдущих тем, что обладают индивидуальной смысловой качественностью. Такие числа Лосев называет идеальными и пишет, что идеальные числа - это числа, в которые входит некое идейное содержание, т.е. некая уже несчислимость, неспособность к счету или, как он отмечает в "Критике платонизма у Аристотеля", - "некая сплошная качественность, которая невыразима никакими количественными переходами и рядами"2.
В.П. Троицкий в своем исследовании лосевской философии математики следующим образом суммирует особенности таких чисел: "Натуральный ряд "несчислимых" чисел существенно отличается от привычного ряда с тем же названием, ибо каждый его элемент существенно индивидуален, т.е. относительно своих соседей по ряду он выделен не простым наращиванием нейтрального "количества", но отличен в аспекте "индивидуальной смысловой качественности"". По его мнению, такие "индивидуально-семантизированные" числа можно сопоставлять, но недопустимо "сводить их друг к другу, посягая на вышеозначенную индивидуальность"3. Троицкий предлагает "голографический" метод такого сопоставления: "Здесь заимствуется идея из оптики когерентных источников света (голографии), а именно особенность сохранения полного изображения на любом - с известными ограничениями - малом участке голограммы. Поскольку за любым из наперед заданных таковых участков можно закрепить некий числовой объект (техника оптоэлектроники это позволяет), то физические особенности носителя числовых отношений дадут новую "арифметику": как на содержании выделенного фрагмента отражается целостность голограммы, так на изображении числа скажется все околочисловое окружение"4. Голографический метод сопоставления чисел созвучен основной теме философии Лосева - теме присутствия Целого в каждой частице Универсума, что делает возможным изучение Универсума по любому его фрагменту.
В более поздних работах Лосева встречается иное название для идеальных чисел: гилетические числа (от греческого "hyle" - "вещество")5. Как указывает сам Лосев в работе "Музыка как предмет логики", гилетическое число выражает момент "иного", "меонального размыва и подвижности, смысловой текучести и жизненности эйдоса, т.е. самого предмета"6. Лосев строит учение о гилетическом числе на основе гилетической логики, элементы которой впервые изложены им в этой же работе7. Можно все же сказать, что идеальное число - это число существующее, но не получившее еще бытия. (Различие между существованием и бытием постулировано еще Парменидом.) Тогда гилетическое число можно понимать как идеальное число, обладающее не только существованием, но и бытием. Согласно Лосеву, идеальное число и присутствует в "обычном" арифметическом числе, и существует вне его самостоятельно8. "He-объективная и не-субъективная, чистая идея числа, переходя в свое инобытие, превращается прежде всего в физически-материальное, пространственно-временное число", - пишет он в своих классических "Диалектических основах математики", написанных еще в 30-е гг., но увидевших свет лишь в 1997 г. 9. Здесь же Лосев дает свое определение числа: "Число есть ставший результат энергии самосозидания акта смыслового полагания"10. Если не мыслить выражение "ставший результат" как остановку во времени "акта смыслового полагания", а понимать его как непрекращающийся процесс, то это определение вполне приложимо и к гилетическим числам.
В процессе создания учения о гилетическом числе Лосев широко использовал не только пифагорейскую, но и неоплатоническую терминологию. Однако от неоплатонизма учение Лосева принципиально отличается своим христианским персонализмом. Это отчетливо видно даже в тех его работах, где он не мог открыто высказать свои убеждения по вполне понятным цензурным условиям эпохи. Для античности hyle не обладает собственным бытием, а мыслится в качестве противоположности миру образов (идей, форм). Как известно, древние греки отказывались признавать в качестве чисел даже иррациональные числа. Тем более они не признали бы в качестве таковых числа гилетические. Для Лосева именно hyle есть бытие по преимуществу, а мир образов и предметов физического мира представляет собой его дальнейшее оформление, "вещественное" уже не в античном смысле этого слова. Гилетические числа Лосева суть личности, и это дает основание отличать их как от статических чисел античности, так и от количественных ("функциональных") чисел математики Нового времени.
Для Гуссерля термин "гилетический" был синонимом слова "чувственный" или "материальный" (имеется в виду материал переживаний), но Лосев различает эти понятия. Напомним, что хотя Цицерон и ввел слово materia как перевод греческого hyle, оно отличается от латинского materia именно тем, что materia - это hyle, взятое в момент его наблюдения, a hyle включает в себя все моменты существования вещественного предмета, всю его биографию, реализованную в виде конкретного гилетического числа.
2. Корреляция - основа взаимодействия гилетических чисел
В "Диалектических основах математики" Лосев указал место становящегося числа в структуре математики: "Настоящая действительность вмещает в себя самопроизвольность своего протекания, и потому ей всегда свойственна стихия случайности. Случайность же, данная в смысловой сфере, есть как раз вероятность. И потому теория вероятностей и статистика есть то в математике, что максимально близко отражает на себе действительность, и притом действительность не природы только, но и жизни, животной и социальной. Это уже будет не просто действительность числа, но история числа, понимая под этим как животное развитие и всю органическую жизнь, так и человеческую, социальную"11. Очевидно, что термин "случайность" Лосев употребил не в обыденном смысле как синоним "хаотичности", а в том специфическом смысле, который этот термин приобрел (к моменту оформления лосевской философии математики) в теории вероятностей. Здесь случайность -не мера хаотичности, а мера "фактичности" или конкретности событий, не детерминированных предшествующими событиями (тогда они могли бы быть выведенными дедуктивно), а непредсказуемыми заранее и, именно в силу этой непредсказуемости, порождающими новую информацию.
Хотя сам Лосев и не употреблял слово "информация" в годы создания им своей философии математики, мы вполне можем рассмотреть это понятие в свете его учения о гилетических числах. Важнейшей проблемой, возникающей при исследовании гилетических чисел, является проблема их взаимодействия. Любое их взаимодействие можно представить в виде математической операции с этими числами. Согласно Лосеву, становление сущности числа происходит именно в процессе операции с этим числом. Во введении к уже упоминавшимся "Диалектическим основам математики" он показывает отличие в понимании сущности математической операции обыденным сознанием и философией числа: "В то время как сама математика есть совокупность чисто числовых операций, философия превращает эти числовые операции в понятийные, в принципиально логические. Математика в этом смысле есть знание как бы одномерное, одноплановое; философия же заново перестраивает этот математический план, превращает его из структуры-в себе в структуру-для себя, понимая числа как понятия и тем перекрывая числовую структуру структурой логической. Вот почему многое, столь понятное математику, совершенно непонятно философу; и иной раз приходится очень и очень много размышлять над тем, что с математической точки зрения является чем-нибудь очень простым, почти пустяком. Нечего и говорить о таких операциях, как интегрирование или разложение в ряд; достаточно взять простой математический факт: 2х2=4. В этой простейшей операции арифметического умножения функционирует целый ряд логических категорий, о которых умножающий не имеет ровно никакого представления, как бы хорошо и быстро он ни умножал. Если я скажу, например, что умножение так же отличается от возведения в степень, как понятие механизма от понятия организма, что возведение в степень и извлечение корня в логическом смысле есть аналогия органического роста (в отличие от внешнемеханического сопряжения), то это будет всякому математику без предварительного разъяснения по меньшей мере непонятно. А тем не менее логический (а не просто числовой) анализ простых арифметических действий приводит именно к такому заключению"12.
Общеизвестные элементарные математические операции (сложение, умножение, возведение в степень и обратные к ним) далеко не исчерпывают всего богатства возможных операций. Детализация гилетического числа не сводится лишь к элементарным операциям. Ни на каком этапе своей детализации его невозможно адекватно выразить конечной последовательностью натуральных чисел, но можно аппроксимировать с достаточной степенью точности. В отличие от аппроксимации "обычного" иррационального числа, сводящейся к десятичному разложению числа, аппроксимация гилетического числа не предполагает обязательного уменьшения "удельного веса" последующих знаков по отношению к предыдущим. Каждый новый знак в данном случае знаменует собой не уточнение заранее данного количества, а дальнейшее становление гилетического числа, т.е. обогащение его новой информацией при сохранении его индивидуальности. Здесь удобно провести аналогию с музыкальным произведением: в музыкальном произведении последующие элементы музыкального текста не менее значимы, чем ранние. В главе "Функции и соседние категории" той же работы Лосев проводит принципиальное различение между функциональной и корреляционной зависимостью: "Стоит обратить особое внимание на значение категории "функция" в теории множеств и в теории вероятностей. В первой из названных наук эта категория связана с процессом отображения одного множества на другом и на установлении того или иного соответствия отображенного с отображающим. Во второй из названных наук функция приобретает значение т.н. корреляции, которая, в связи с тем, что в данном случае происходит исчисление бытия фактически случайного, как раз и есть функция, но без чисто функционального содержания, а только с фактически опосредствованным"13.
Если функциональная зависимость определяется общей действующей причиной, то корреляционную зависимость можно объяснить лишь единством цели. Таким образом, формирование гилетического числа завершается лишь с наступлением события, являющегося целевой причиной существования этих чисел. Для любых гилетических чисел такой причиной является полное объединение множеств их предикатов с полным сохранением порядка расположения элементов этих множеств. Поэтому мерой взаимодействия гилетических чисел можно считать не функцию (меру каузальной зависимости), а корреляцию. Классическая теория вероятности дает возможность интерпретировать любое ненулевое значение корреляции в качестве меры информации, передаваемой и принимаемой гилетическим числом.
Само течение времени можно понимать как овеществление гилетического числа, т.е. его оформление в виде последовательности "обычных" натуральных чисел или вещественных структур, имеющих точные координаты в пространственно-временном континууме. Эти структуры в каком-то смысле представляют собой вещественные приближения гилетического числа.
3. Корреляционное исчисление и актуализация информации
Математическую дисциплину, изучающую законы информационного взаимодействия гилетических чисел, можно назвать корреляционным исчислением. Корреляционное исчисление не может быть сведено к применяемому в математической статистике корреляционному анализу. Детерминизму каузальной зависимости противостоит не статистическая зависимость (которая может быть приближенным представлением все той же каузальной зависимости), а зависимость корреляционная, допускающая индивидуальные биографии гилетических чисел при единстве цели. Поэтому и строиться корреляционное исчисление должно не посредством отдельной разработки и последующего объединения алгебры и анализа (как обычно строятся исчисления). С самого начала оно должно учитывать неповторимую индивидуальность каждого числа.
Может показаться странным противопоставление понятий "гилетический" и "вещественный": ведь "hyle" как раз и означает вещество, а вещественные числа успешно применяются в математике уже более пяти тысяч лет! Но, как мы увидим далее, значения этих слов имеют существенные оттенки, позволяющие их строго различать, и Лосев был совершенно прав, противопоставив их. Речь идет не о том, чтобы дать новое название уже известному предмету. Число в общепринятом понимании представляет собой как бы моментальный снимок гилетического числа, сделанный на его вещественной стадии, оцепеневшее число, тело числа, разлученное с душой. Поэтому и область его применения ограничивается вещественным миром.
4. Усвоение информации и корреляция в живой природе
Исследования природы памяти, неоднократно проводившиеся в течение XX столетия, показали колоссальную разницу между принципами хранения информации в современных компьютерных системах и принципами организации памяти живых существ. Это касается как генетической памяти, связывающей программу развития организма с программой вида, так и памяти в общеупотребительном смысле слова, хранящей впечатления, полученные особью в течение жизни. Как геном, так и мозг - не хранилища "следов" прошлых событий, подобно библиотекам и архивам, и не усовершенствованные арифмометры, подобно ныне используемым компьютерам. Запись информации в памяти компьютера позиционна, т.е. осуществляется путем преобразования последовательности событий во времени в последовательность локализованных в пространстве участков носителя. В отличие от нее, память живого существа ассоциативна. Она организована в виде многомерной голограммы, упорядоченной вдоль временной оси. Мозг есть одномоментный "срез" этой голограммы, локализованный в трехмерном пространстве. Моделирование функций мозга методами математики дискретных величин - это попытка приравнять к дискретным величинам континуум, не преодолевая фундаментальное различие между непрерывным и дискретным. Основной функцией мозга можно считать переработку информации с ее последующим усвоением живым существом, т.е. трансляцией информации из пространственно оформленного мира в непротяженный мир сознания. Именно процесс усвоения, при котором гилетическое число интегрирует поступающую информацию, делает гилетическое число живым существом. Если компьютер и моделирует некоторые функции мозга, то это функции именно бодрствующего мозга, перерабатывающего (по законам дискурсивной логики) информацию, поступающую в потоке действующей причинности.
При актуализации информация, хранящаяся во "внутреннем пространстве" гилетического числа, может вновь приобретать протяженную форму. Для актуализации хранящейся в памяти информации важна не временная последовательность усвоения этой информации, а ассоциативное подобие усвоенных образов. Несмотря на то что вся информация уже содержится в гилетическом числе, пути раскрытия (оформления) этой информации могут быть какими угодно, и именно в выборе этих путей проявляется свобода субъекта математического действия, производит ли это действие математик или каким-то иным образом актуализованное гилетическое число.
Геном представляет собой новое пространственное оформление реалий непротяженного мира. Он ответствен за новую актуализацию информации, заключающуюся в ее овеществлении (или объективации) в виде живого существа. Геному (как и созданному человеком тексту литературного или музыкального произведения) нисколько не мешает то, что он записан дискретными единицами ("буквами"), которые вполне могут быть представлены в виде ряда натуральных чисел. Дело в том, что текст - это не отдельное гилетическое число, а программа взаимодействия гилетических чисел. Именно поэтому он способен передавать гораздо больше информации, чем содержит видимым образом. Важнейшей формой выражения непротяженного мира в упорядоченном виде (в данном случае это - упорядоченность во времени) Лосев считал музыку. В работе "Музыка как предмет логики" Лосев писал: "Музыка есть жизнь числа или, вернее, выражение этой жизни числа. Выражение есть соотнесенность данного смысла с вне-смысловым материалом и, значит, данность его при помощи алогических средств"14.
5. Модели усвоения и актуализации
Предложенный Троицким в цитированной выше статье голографический метод сопоставления чисел дает возможность моделировать процессы усвоения и актуализации информации. Голограмма, подобно зеркалу, содержит информацию не в отдельных фрагментах, а во всей своей поверхности. Мы видим не аналоговое и не цифровое представление предмета, а сам предмет. Лишь его "место" в пространственно-временном континууме отличается от исходного. Голограмму можно считать дальнейшим шагом к усвоению после обычного отражения. Если зеркало выполняет лишь простейшую пространственную инверсию, то голограмма уже увековечивает мгновение, в котором она была создана, хотя голографическая запись и продолжает все еще пребывать в рамках вещественного мира, занимая для своего хранения определенный объем трехмерного пространства. Ни зеркало, ни голограмма не "кодируют" преобразуемую ими информацию, и принципы этого преобразования коренным образом отличаются от принципов цифровой записи. Зеркало и голограмму можно считать прообразами границы мира физического с миром непротяженным, границы, не разделяющей эти миры, а скорее связывающей их. Однако голографическая запись может быть представлена в цифровой форме. Как известно, информация, хранящаяся в голографической форме, может быть извлечена из любого ее фрагмента, причем размер фрагмента влияет лишь на четкость отображения (с размером повышается детализация), но не на размер отображаемого участка физического пространства.
Непрерывная детализация записи, при полном сохранении идентичности уже записанного, достигается тем, что суммарная частота любого фрагмента цифровой записи сохраняется неизменной, а все составляющие этой суммы обрастают все новыми и новыми "обертонами", делая запись все более и более живой. Это - полная противоположность амортизации записи, свойственной сегодняшним записывающим устройствам. Как отражение (простейшая форма преобразования информации), так и актуализация голографической информации могут быть представлены в виде математических операций, которые уже в случае зеркала не сводятся к элементарным "арифметическим действиям".
Следует отметить, что голограмма, подобно "обычным" носителям информации, таким как бумага, магнитофонная лента или дискета, - все еще система без обратной связи, транслирующая информацию строго в одном направлении: из прошлого в будущее. В отличие от голограммы, зеркало работает в режиме "реального времени", но не обладает способностью фиксировать прошедшие мгновения. Многомерная голограмма отличается как от зеркала, так и от обычной голограммы тем, что она способна к усвоению входящей информации в своем гилетическом пространстве и последующей актуализации этой информации. Если при позиционной системе записи информации разрушение физического носителя приводит к потере информации, то при ассоциативной системе информация неуничтожима, так как многомерную голограмму невозможно разрушить. Можно лишь временно разучиться актуализировать уже усвоенную голограммой информацию. Время в физическом смысле внутри голограммы уже не течет, но сохраняются не только все вечные математические истины, но и память обо всех событиях, происшедших в физическом мире. Это делает возможным осуществление новых операций над гилетическим числом, в том числе актуализацию (по ассоциативному признаку) информации, усвоенной числом в течение определенного отрезка времени его жизни.
Таким образом, многомерную голограмму, имеющую не только пространственные, но и временные измерения, можно считать физической моделью числового пространства или, иными словами, физическое пространство есть актуализация числового пространства (если понимать под числом именно гилетическое число). Физическая корреляция не есть просто омоним математической корреляции, а есть конкретное проявление в вещественном мире обмена информацией между гилетическими числами, происходящего по законам корреляции математической.
6. Континуум и прерывность
В более поздних работах Лосева мы не встречаем уже термина "гилетическое число". Можно предполагать, что он нашел некоторую аналогию гилетическому числу в понятии континуума. В "Диалектических основах математики" Лосев осмысливает понятие континуума в качестве "антитезы утвержденному числу15". Континуум не остается тем пустым безразличием, каким он открывается с вершин числовых оформлений. Навсегда он остается безразличием только с точки зрения чистого числа. Но в нем возможны и необходимы различные оформления так же, как и везде, хотя и с обязательным учетом всего своеобразия этой области, где осуществляется оформление. В то время, как в области чистого числа, например, раздельное полагание создает единицу, в области континуума раздельное полагание [дает] точку. Один и тот же смысловой акт полагания дает в разных областях разные конструкции. Нужно только учитывать своеобразие области, где происходят акты полагания и единства, даже тождества, смысловых актов, которые происходят в этих областях. Тогда на основе континуума образуется особая система определенных структур, вполне параллельная системе арифметически-алгебраически-аналитических функций числа. Эта система есть геометрия в разных ее видах и формах, т.н. элементарной, проективной, аналитической, дифференциальной, многомерной и пр." 16.
"Полный синтез (а всякий диалектический синтез есть полное и абсолютное слияние и тождество тезиса и антитезиса) требует, чтобы получилось не тождество в том или другом отношении между числом и континуумом (такое тождество есть просто различие, а не тождество), но абсолютное тождество, субстанциальное тождество того и другого. В предыдущем случае число (функция) остается само по себе, и кривая остается сама по себе, и тождество между ними не субстанциальное, но отвлеченно-смысловое: по функции (если ее брать как функцию, не привнося в нее никакого иного толкования) нельзя догадаться, что речь идет о данной кривой, а в кривой, если ее брать чисто оптически-геометрически, нельзя вычитать никакого уравнения. Здесь же, в этом полном синтезе, рассматривая данную структуру, мы уже не находим в отдельности число и в отдельности его континуальное инобытие, а видим то, в чем то и другое пребывает неразличимо"17. Подводя итог своему построению схемы наук о числе, Лосев пишет: "Существует действительность как факт, и вот это-то и не фиксируется теорией множеств, какой бы наглядностью она ни обладала и как бы ни была ближе к жизни, чем арифметика и геометрия. Факты должны быть зафиксированы в числе как факты, т.е. во всей их путаной случайности и неразберихе. Число вне оформления бытия как фактической действительности всегда несет с собою известную долю случайности и вероятности в отличие от чистого числа, которое очень далеко от конкретной действительности и потому максимально аподиктично. Следовательно, тут должна быть особая математическая наука и должна быть особая сфера числа. Это число есть математическая вероятность, и соответствующая наука есть исчисление вероятностей. Только на почве этой последней науки возможны все завершительные и выразительные формы математики..."18.
Как заметил И. З. Цехмистро,"... не только в физике, но и в математике, в рамках абстрактной теории множеств в принципе не может быть реализован какой-либо логический переход от "единичных объектов" (например, натуральных чисел) к целостности или даже только непрерывности (континууму). И наоборот, из целостности и из непрерывности нельзя получить целые числа... Согласно доказанной П. Дж. Коэном абсолютной неразрешимости континуум-проблемы, просто не существует какого-либо логического перехода от любых систем множеств "объектов" к свойствам континуума, и наоборот"19.
Попытки связать непрерывное и дискретное, указать способы перехода между ними, приведшие к созданию квантовой теории поля, содержат в неявной форме представление о числе, как о числе именно гилетическом. В квантовой теории поля само число уже обладает свойствами квантового объекта. Благодаря этому математический аппарат квантовой теории поля есть не просто математическое описание вещественных микрообъектов, обладающих квантовыми свойствами, но представляет собой квантовую математику, в которой традиционное понятие числа, сложившееся в науке XVII-XIX вв., дополнено понятием континуума.
Широко известно высказывание Р. Фейнмана о том, что нет двух различных миров: классического и квантового, а есть только один квантовый мир, и мы живем именно в нем. Расширяя мысль Фейнмана на область чистой математики, можно сказать, что так называемым "классическим" числам в реальном мире ничто не соответствует. Это - искусственные образования, получившие свое формально-логическое обоснование лишь в математике Нового времени, уже исчерпавшие свои возможности в познании реального мира и в информационном взаимодействии с этим миром. Есть только один математический мир, и реалиями этого мира являются числа гилетические. Только гилетические числа дают увидеть в стохастических процессах, происходящих в звездах и живом веществе, не просто хаос, а информацию, не детерминированную прошлыми событиями, но обусловленную телеологически, при полном сохранении каждым гилетическим числом свободы выбора пути к общей цели.
По словам В. М. Лосевой,"...математика - давнишняя любовь Лосева. Не будь он философом, он, конечно, был бы математиком. Однако только теперь, когда философ уже не первой молодости, он сумел осуществить мечту своей молодости - философски понять математику. Это, несомненно, подвиг целой жизни"20.
После введения в научный обиход основных работ Лосева, посвященных философии математики, эта наука должна непременно учитывать математические идеи Лосева. Современная философия числа немыслима без философских построений Лосева. Но их значение не исчерпывается только этим. Без них невозможно и философское осмысление тенденций развития математики, переходящей от конструирования отвлеченных "логических цепей", к целостному отображению мира в его фактической действительности (по выражению Лосева).
Впервые опубликовано: Вопросы философии. 2005. #8. С.168-175.